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Si l'on faisait: 



(97) (ax) — (dVidy) — ' 

 on auroit 7/ zzz ~ : (jy, oa /=: 1, ce qui ne donnerait plus 

 d'ir;tegrale complette, donc E^zzo, et E^ro, donc E 7/ =o, 

 donc les suppositions du §. 23. sont les seules legitimes , et 

 l'on peut afiirmer en general que &i les trois valeurs de (J) sont 

 egales, les equations II, III, du §. 2. deviennent identiquement 

 nulles. II ne reste donc, pour determiner les trois valeurs de n, 

 que 1'equation IV. 



( d ™\ j_ K /i!JL> o. L ( h ^-\ -U M (*-*) -4- * fi^u-lf dd -\ 



\dy*J "■" ? \dy*dxJ ~^~ F ^jy dx 2 / ~ r l ^d x 3 ' ' F \dy*' ~*~ ¥ \dxdy' 



Si l'on trouve trois valeurs particulieres de n dans cette equa- 

 tion , on aura rT, n^, II . Au reste on peut regarder dans 

 cette t'quation (£/ comme constant ; or (J)' etant une fonction 

 de x et y, on tirera de la la valeur de y en <J/ et x, ou de 

 * en (|) et j^ , qu'on substituera dans 1'equation , et l'on n*aura. 

 plus a integrer qu'une equation aux differences ordinaires. Mais 

 si 1'equation est trop compliquee , pour qu'on puisse en tirer la 

 valeur de y ou de x, on rencontre alors les memes difficultes 

 que nous avons detaillees pour les equations du second de- 

 gre. Le detail de ces difficultes pour ce cas - ci nous menerait 

 trop loin. 



s5. Reprenons l'exemple du §. i3. et supposons les trois 

 valeurs de m egales , on aura (p zzx -hmy, ($~)~~ ', Q~ y ) — m ' 

 et toutes les autres differentielles egales a zero. La premiere 

 equation donnera donc m' -f- ■— m 2 -f- — m -j- -^- zzzz o , ct 



l'e£alite des racines donnera — = — 3»z, —- zz 3 m 2 —zz — in\ 

 Substituant ces valeurs dans 1'equation II, on aura h m* -f- g m 

 ~\~ f — o, ce qui donne , a cause de 1'egalite des racincs, 



A ~ zzzz — 2 m , -jr. zzz m 2 , Substituant ces valeurs dans i'equa- 



