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A p — y f et p C — u ; faites au point P le rapport p-r- plus 

 petit que la quantite donnee D , et diminuez p C ( ~ u ) , de- 

 sorte que uf soit plus petit que p Q ; d'apres cela la courbe 

 B M C prendra la position bm c , et coupera la droite P Q dans 

 un certain point e , parceque le point m ne peut jamais se con- 

 fondre avec le point P. Par le point m menez la droite m q 

 parallelement a PQ; cette droite passant au dessus de-la droite 

 qui unit les points m et e, et par consequent aussi au dessus de 

 1'arc me, passera au dessus de la tangente mr de 1'arc b m c au 



point m ; donc le rapport — des cathetes de la tangente , le- 

 quel , par la notation que nous avons citee , est exprime ici par 

 jr, sera plus petit que le rapport — ( — . p— ) , et par con- 

 sequent , a plus forte raison , plus petit que la quantite don- 

 nee D. 



Dans ces deux cas nous avons suppose que les ordon- 

 nees soyent croissantes ; mais d'apres cette exposition chacun 

 pourra facilement deduire la meme chose pour le cas ou les or- 

 donnees sont decroissantes. 



Ainsi la difference entre les rapports d (^) et ^ peut 



dy 

 etre faite plus petite que chaque grandeur donnee , et puisque 



le premier rapport d (— x ) croit ou decroit , et que 1'autre est 



dy 



toujours constant , ce second rapport est la limite du premier. 

 C Q. F. D. 



Corollaire i. 



La condition de la differentielle exacte Mdy -f- N9x 

 de la fonction z a deux variables y et x, consiste donc en 



