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paTort etre indirecte , ces suppositions t^tant arbitraires et 

 pliitot 1'effet d'un heureux hasard : d'ailleurs on ne voit 

 pas clairement que ces valeurs de K , contenues dans l'ex- 

 pression qu'il trouve, soien^ les seules ou la solution de 1'equa- 

 tion proposee devient possible lndependamment de cette dif- 

 ficulte que je n'ai cru pouvoir ]ever qu'en prenant une route 

 absolument differente de celle de ce grand Geome re, il y a 

 encore une autre circonstance qui merite un attention particu- 

 liere. La voici : Si , comme nous ailons le demon rer rigou- 

 reusement dans les articles suivans, 1'expression (n 9 — 4) z h- n 

 renferme toutes les valeurs possibles de K , pour lesquelles 

 1'equation x + -+- K x' y 1 H- y* zzz □ devient soluble ; ce n'est 

 pas dans la seule supposition que n et z sont des nombres en- 

 tiers , mais encore dans celle' qu'ils sont des fractions qui , sub- 

 stituees dans cette formule, la rendent egale a un nombre entier. 

 Or la decouverte de ces dernieres presente de si grandes diffi- 

 cultes que JVlr Euler, h. la fin du memoire mentionne , p. 48, 

 en fait un Probleme particulier, qu'il propose en ces termes : 

 „Invenire methodum , cujus ope omnes numeri integri assignari 

 „queant , qui ex formula (ri 1 — 4) z' h^ n resultare possint , si 

 >,loco litterarum n et z non solum numeri integri, sed etiam 

 „fracti accipiantur." 



Toutes ces considerations m'ont engage a m'occuper de 

 cette meme question, et mes recherches, si je ne me trompe 

 n'ont pas ete tout - a - fait infructueuses : Cest - ce qui me 

 fait hassarder de les soumettre ici a l'examen de connoisseurs. 



Probleme. 



$. 2. Le nombre K etant une nombre entier quelcon- 

 que, on cherche les valeurs de x et y, qui rendent 1'expression 

 x* -{- K x s y 1 -j- y* egale a un carxe. 



