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Solution. 



Comme x* -{- Rxy+ y*~ □ ; on aura, en divisant 

 de part et d'autre par le carre y* 



(-f y -f- K. ( -y) 2 -j- l = □ ou bien, en mettant y = %' r 



Cette equation du quatrieme degre' est du nombre de celles, 



pour la solution desquelies la seule methode , connue jusqu'ici, 



reste en defaut. (Voyez les elemens d'A]gebre de Mr. Euler, 



Tome II, chapitre IX, §. i3a., ii53.). Or, en examinant atten- 



tivement les raisons, pourquoi la methode generale de cet au- 



teur , de transformer 1'equation f ~\- az -+- bz -f- c z z -+- e z* 



en carre , ne mene a rien lorsqu'elle est appliquee au cas parti- 



culier a zz: c . ~ o , qui est celui dont il s'agit ici , on trouve 



aisement, que les suppositions qui servent de base dans la solu- 



tion de Tequation generale , ne peuvent avoir lieu dans le cas 



particulier f 2 -+- b z' -+-.ez 4 ; puisque cette derniere equation 



qu'on peut representer sous la forme f*-\-b(z)—\-e (z*)% 



doit plutot etre mise dans la classe de celles du second degre. 



En effet, s'il existe une methode de trouver toutes les valeurs 



possibles de Z, qui changent l'equation f l -\- bZ -j- eZ ! en 



carre , 1'tquation f l -+- h •+- ez* ~ □ pourra etre resolue 



aussi : puisqu'on n'a qu'a prendre parmi toutes les valeurs 



de Z celles qui sont des carres z , s'il s'en trouve quelques- 



unes: et en cas qu'il ne s'en trouve point , on pourra etre 



sur que la formule : f 1 -+- bz' -+- ez* ne peut jamais devenir 



un carre. Or, il n'est pas difficile de trouver une expression, 



renfermant toutes les valeurs rationelles possibles de Z qui 



satisfont a la condition /' + &Z + eZ' =: Q; tout revient 



par consequent a choisir, parmi ces valeurs de Z cellequi sont 



en meme tems des carres. 



