quuntite lrrationelle» Or A zz: ^, , et 



j % _4_ b Z' -+- eZ' ! est un carre, Donc A est une quantite ra- 

 tionelle. Puisqu'il est donc cLir qu' a chaque Z' qui satisfait a 

 ]a condition / 2 -+- b Z' -+- e Z /2 — Q , il repond un A rationel, 



on voit que la formule Z zz: ^._l e - contient tous les nom- 



bres rationels possibles, qui substitues dans la formule en que- 

 stion, la rendent egale a un carre. 11 ne reste plus maintenant 

 qu' a trouver parmi cette infinite de valeurs de Z provenant de 

 la supposition A ~ a un nombre rationtl quelconque, celles qui 

 sont en meme tems des carres. Pour cela je remarque que 

 Pequation a resoudre etant i -f- K z 2 -j- z\ en peut . simplifier 

 ces recherches en faisant / zz: e zz: i , et b __- K ,• ce qui 

 donne ; 



ry R ± 2.\ 



On cemande donc, quelles valenrs on doit donner a A pour que 

 cette formule devienne un carre ? Pour resoudre ce probleme 

 nous distinguerons lt s deux cas i) A ~ a un nombre entier, 

 et 2) A z__ a utae fraction. 



Solution de lequation ^^J^ = D 

 dans la supposition que A soit un nombre entier, 



§. 3. Comme, dans cette supposition, la quantite A* — l 

 ne peut jamais etre un carre, la rormule _ ^ 2 _zj" ne sauroit etre 

 un carre, _a moins que K + 2A ne soit _zmp 2 , et A 2 — 1 ~mq l . 



_-v! ., , . ,. . mp 2 — K 



JJe la premiere equation on obtient A zz; , et cette va- 



leur, substituee dans la seconde donne : 



K 2 — 4 — g m K p 2 -+- rrv p* z~ 4 m q\ 

 ffova Acta Acad. Imp. Sc. T. Xlll. 38 



