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Or K, m , p et q sont des nombres entiers : par consequent 

 le terme K 2 — 4- cioit etre divisible par m ; c'est - a - dire il 

 faut que m soit un des facteurs de K* — 4.. Cela pose , reve- 



nons aux deux equations A ~- — - 2 — K , et A 1=2 }/(l -\-mq 2 ), 

 dont chacune peut fournir une suite de nombres entiers. Pour 

 obtenir ceux de la premiere , il suffit de mettre successivement 

 pour p tous les nombres entiers qui rendent la quantit^ 

 m p 1 — K divisible pir 2. Quant a ceux de la seconde , on 

 emploira la methode que M. La Grange a donnee dans ses ad- 

 ditions aux Elemens d' Algebre de M. Euler Tome II. Chap. 

 VII. §.. j5., et qui consiste a chercher d'abord la plus petite 

 valeur V de q , qui rend 1'expression 1 -f- mq- egale a un car- 

 re T, et a deduire ensuite toutes les autres valeurs possibles de 

 A et de q des formules 



A ±z T 1 + - — — m T* -2 V 2 -f- n ("-OC"- 2 )^- 3 ) m z T n-,i V* 



, n(n-l) (n-2) ( n-3) (n-4) (n- 5) ^, rpn-6 y 6 , ^^ 



et q = n T"" 1 V + J<fciL£=3 m T- 3 V* 



_^_ ^<n-l)(n- 2 Mn^3)(n- 4) ^ ^n-5 yJ + ^ 



en y mettant pour n tous Ies nombres naturels. Ainsi , s* il 



K -+- 2 A 



existe un nombre entier A qui rende la formule A T"_ a £gale 

 a un carre ^; ll faut que ce nombre soit commun aux deux 



series dont nons venons de parler. Si donc , en les conti- 

 nuant 1' une et 1'autre, on parvient a un terme commun , au- 

 quel repondent les valeurs p et q , on aura Z = — . Mais 

 si , apres avoir parcouru tous les facteurs m de K B — 4 et 

 calcul^ pour chacun d' eux les deux series au. de la d ? un cer- 



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