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tain terme auquel repondent les valeurs P et Q , on n' en 

 trouve aucun qui soit commun aux deux series , c' est une 

 preuve que , s' il existe un nombre entier A qui change la 

 formule proposee en carre, la valeur de Z qui en resulte sera 

 exprimee par nne fraction , dont le numerateur est neces- 

 sairement plus grand que P , et le denominateur plus grand 

 que Q. 



Cornme les valeurs de A resultant de Pexpression 

 V ( 1 -f- rn <f ) croissent toujours fort vite , on peut abreger les 

 calculs precedens. Car apres avoir trouve un certain nornbre 

 de valeurs de A, il suflit d'egaler a chacune d'elles la premiere 



m* 2 — K. . . . 2A+K , , , ,, 



expression - 2 , et de voir si - — ^ — est eg,u a un carre p . 



Be cette maniere on sera dispense de calculer la serie des nom- 

 bres resuitant de — = — •• 



§. 4« Cette methode de trouver les nombres entiers A, 

 ainsi que celle que nous ^allons donner dans 1' article suivant 

 pour les valeurs fractionaires de cette quantite , est impar- 

 faite ; puisqu' elle ne dcnne point de terme fixe, par lequel 

 on puisse juger de la possibilite ou de 1' impossibilite de la so- 



K -+ 2 A 



lution de 1' equation Z 2 " jXl_ ± ' • car pour reconnoitre cette 

 derniere, il est des cas , oii Ton seroit oblige de prolonger les 

 deux series a 1'infini. Aussi je ne la detaille lci que pour faire 

 voir les difficult£s que presente une solution directe, et pour 

 justifier la solution indirecte a laquelle on est oblige d'avoir 

 recours , et qui sera le principal objet de ce memoire. Au 

 reste si Z est une fraction , dont le numerateur et le d£no- 

 minateur sont des nombres assez petits , comme le sont tous 

 ceux de la table calculee par M. Euler dans le memoire men- 

 tionne , cette methode donne toujours des solutions fort sim- 

 ples , comme on peut s' en convuincre par les exemples ajoutes 

 cy - apres. 



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