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a) Si v zz: r\ on aura: 



CKr 2 -t- 2«) ' • K-r* -+- 2a __ . 



r 2 - ^a ___~:ff - et V ar consequent aussi -^rzTjr = O- 

 Cette equation admet les deux suppositions suivantes : 

 K r 2 ± 2 u zzz p\ et u 2 ■— r« zz: q 2 ; et 

 Kr 2 + 2 u zzz mp 2 , et u 2 — r 4 z_ m g 2 . 



Commencons par la premiere , en faisant K r 1 + 2 u ~ p J , et 

 u a r + zz: <f . Or il est facile de demontrer qne , pour que 



tette derniere equation puisse avoir Keu , U sera ±= (g_-__l ) ^S 

 ou B est un nombre arbitraire quelconque. Or u et r sont 

 des nombres entiers et premiers entr' eux ; il faut donc que 

 r - — B 2 — 1 , mais comme cette equation est impossible , si B 



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est un nombre entier, faisons B — -) par consequent u sera 



(m 2 -+- n 2 ) r 2 , ,, , ., f - , . , 



zzz — ■-___-_— > ou 1 on voit , qu 11 laut necessanement que le 

 •denominateur m* — if soit zz: 7 2 , ce qui donne „ — m 2 -|- rt* 

 et Z zz: ^. On prendra donc pour.ra et n successivement tous 



les nombres entiers tels que m* — it zz: n — r '> et on verra 

 si parmi ces val^-urs qui vont toutes en augmentant, il s' eri 

 trouve , qui satisfont en meme tems a la premiere equation 

 K r 2 ;__ 2 (m 2 + r) z: Q — p 2 . De cette maniere on pourra 

 toujours se convaincre , si , sur cette route , il existe des valeurs 

 de Z audessous d'un certain terme. 



Enfin , si K r 1 ^ 2 u z: m p', et vr — 4 — m (f > on 

 prouvera , comme dans les cas precedens , que le nombre m ne 

 peut etre qu' un des facteurs de K 2 — 4. Cela pose on aura : 

 (u -f- r 1 ) (u — r 1 ) zz: D m q. . 5-, par consequent en mettant 



.— . „ <7 2 r 2 D . a 2D 



B + ^= mD 1.. et "— r ~D» 9. Sefa — D^* ^^ — Dt_^. 



