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Or q et r etant des nombres entiers et premiers entr'eux , on 

 a deux moyens de satisfaire a cette derniere equation selon 

 qu'on prend pour D un nombre entier ou une fraction. Dans 

 le premier cas , on cherchera pour chaque facteur m , un ou 

 plusieurs D , tels que D 2 — m, ou m — D 2 ~ □, examen 

 qui n'a pas la moindre difficulte. Si aucun des facteurs de 

 K a — 4 ne donne un D en nombres entiers , on abandonnera 

 cette formule pour s'attacher ensuite a 1'examen du dernier cas ; 

 D z: a une fraction. Mais si on trouve une ou plusieurs va^ 

 leurs de D en nombres entiers , on fera D ? — m, ou m — D* 



zz: r 2 et q ~ 2 D, ce qui donne u ~ r 2 -t- jy ~ r' \± 2 : ou 



. K r' 1 -4- 2u 



il reste encore a. voir , si ces valeurs sont telles que' -^ — 



— □ ~ p \ ou non ? Dans le premier cas le probleme est 

 resolu et Z ztz - j dans V autre on procedera a la derniere 

 supposition D ~ a une fraction.. Soit donc D zzz — , et -—, 



sera ~ -*— - t. Ainsi, en faisant q—o.uo et r 2 — u 2 — m <u% 



le probleme est reduit a chercher deux nombres « et r , qui 

 «oient premiers entr' eux et tels que r" -4- m w 1 ~ □ — u". 

 Mais cette question n'a pas' la moindre difriculte ; car en em 

 ployant la methode dont nous nous sommes servis jusqu'ici , on 



trouve - rz: ' a m t*-' ou V et b sont ^ es nomDres arbitraires 



quelconques ; ainsi on fera o> = 2 t y , et r — y — ? m t a . En 

 mettant donc pour y et t tous les nombres naturels , on trouve 

 des valeurs de r et q qui vont toujours en augmentant ; et il 

 xie reste plus qu'a voir, s'il y en a parmi elh s qui satisfont 



aussi a 1'equation Kr ' ' ~ Z - ZZ. O z±z p 2 . Voila donc toutes les 

 routes sur lesquelles on doit chercher les valeurs z , dans ]'C- 

 quation j -4- K z 2 -4- z 4 ~ □, et sur une ou plusieurs desquel- 

 les elles doivent necessairement se ,trouver, si cette equation est 

 soluble. 



