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une infmite ponr m et n et par consequent aussi pour, K qui 

 est zz n (mV a — 4 V *) + 2 > ou V peut encore etre pris a 

 volont6. 



E x e m p 1 e. 



Si v zz 7 , et T zz n , on aura 49 n — I2i m zz i ; 

 cette e^quation resolue suivant la methode connue de 1'Analyse 

 indeterminee, donne pour m et n les Vdleurs gen^rales: ^.gf-\- 17 

 et 121 /~ i -+- 4 2 - ^es P ms petites de ces valeurs sont m zzr 1*7 

 et n zz 4 2 > d'ou nait 1'expression : 



Kzz 42 (17 V 2 — 196) -f-j2. ( 



(\ 11. Voilk donc la solution complet^e du probleme 

 de M Euler, puisqUe les formules des articl s precedeus, dega- 

 gees de loutes les fractiojis , renferment t utes !es val urs de K 

 pour lesquelles il est possible de chunger 1'expression 1 -4- Kz 1 

 r-\- z* en carre Les autr^s valeurs de K, qui ne peuvent etre 

 deduit'S d'aucune de ce^; formules , forment une clusse par icu- 

 liere de no nbres, pour lesquels il est absolnment inpossible de 

 trouver des z ratidnels. Ainsi, pour determiner tous les nom- 

 bres entkrs K qui rendent la fornml^ priposee soluble , et qui 

 scnt contenus tntre les termes 1 et M. il est ne\ essaire de par- 

 courir toutes les expressions de K, trouvees ti dessus, en sub« 

 stituant successivement dans chacune d'el!es tous les no ntres 

 indiques dans les ar ic'es precedens , jusqu'a ce qu'on purvif nne 

 a un resultat ou valeur de R z ou > M. fce qui doit toujours 

 s.rriver, puisqiie ces valeurs resultant de ces dif.erentes expres- 

 sions vont toujours en augmentant). De cetfe maniere on ob- 

 ticnt une sui e de valeurs de K qui admeitent toutes une solu- 

 tion de l't quation donnee , tandis que les autres nombres qui ne 

 seront point compris dans cette suite , formeront les cas irre*- 

 ductibles. Telle est donc la nature de celte question , qu'elle 



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