— a38 — 



states extenditur. Quare spero, tentamen , quod cultoribus hu- 

 jus scientiae examinandum nunc propono , nec superxiuum ne- 

 que injucundum fore. Ita enim , ut mihi quidem persuadeo, 

 nihil amplius desiderandum rflinquitur, et sperandum est , hac 

 via ad dtmonstratione m generalem pulcherrirni illius theorematis 

 perveniri posse. Antequam aulem ad ipsam demonstrationern 

 accedamus , nonnnlla pracmittenda sunt, quae pertractaiionem 

 non parum sdjuvabunt. 



I. Theorema. 



Impossibile est tales invenire valores integros pro x et 

 y , qui reddnnt formulas x' -+- y* et x — y 1 sirnul quadrato 

 aequales ; vel si prima est quadratum , secunda quadratum nun- 

 quam esse poterit-, et vice versa. 



Demonstrat-io. 



In analysi demonstratur , infni^os dari numeros in*egros 

 quadratos x" et y , quorum summa aut differentia quadrato ae- 

 quales sunt ; omnes autem istos valores ipsius x et y aequutioni 

 ac? -f J' — D s.;tisfacientes , ad aequationem x ? — y 1 zzz, □ 

 solvendam minime idone,;S esse , et vice vtrsa , sequ°nti modo 

 patebit : Coniidero -numeros x et y tanquam inter se primos, 

 nam si haberent factorem communem t ; tam summa x 2 -*~ y*, 

 quam differentia x 2 — y 2 per i 2 dividi posset , et quotientes 

 X 3 -+- Y a et X 2 — Y 2 priori summae et differertiae plane si- 

 miles essent , X et Y denotantibus numeros inter se primos. 

 Hisce positis, 



I. quaeramus expressiones generales , omnes ipsius x et y 

 valores integros et inter se primos involventes qui red- 

 dant x' -f- y* zzz Q. Sit itaque x* -+- y* zzz: z 2 , et erit 

 x 2 zzz (z-+-y) (z — y). Haec autem aequatio non nisi se- 

 quentibus subsistere potest casibus : 



