-4 239 — 



r) si z4-/-P 2 et z — y zz Q 2 , vel 



2) si z-f-j— wP 2 , et z — y zz mQ?~ 



Si prius, scilicet si z -f- y zz P% et z — y z: Q' : habebimus 

 jz:'^, 7 zz ^-=-^-, etxz:PQ; ubi P et Q deno- 

 tant numeros impares quoscunque inter se primos ; sic enim 

 fiet , ut tam z quam y, ideoque et x sint numeri integri et in> 

 ter se primi. Si autem z -\- y zz m P% et z — y — w Q 3 » 



erit 2; zz m ( P 3 "^~ ^ '), J zz m ( p2 ~ ^ -) , et x zz m P Q. Jam 

 cum x et y primi inter se esse drbeant ; factor m. non nisi 2 esse 

 poterit, unde hi-valons oriuntur: z z P ! + Q% jzzP 5 — Q a ; 

 x zz 2 P Q, ubi P et Q significant numeros quoscunque, quorum 

 differentia vel summa sit impar , scihcet quorum alter sit par, 

 alter vero impar. 



II. Eodem modo demonstrari potest, in aequatione x* — y*~ □, 

 esse vel : 



3) x zz p» -f- g a , et y zz p a — q*, ubi p et q numeri 

 quitunque inter se primi sunt vel 



4) x zz * 2 q ' et y zz --—^- ; p et <j denotantibus 

 numeros impares et inter se primos. 



Omnes autem valores possibiles ipsius x et y, aequationem 

 Jc* ~\- y 1 z~ □ solventes , necessario' in formulis 1 et 2 , illos 

 vero pro x 3 — y* zz □ in 3 et 4 contineri, ex natura rei patet* 



Superest nunc, ut probemus, valores pro x et y formuli» 

 5 et 4 conten 4 os illis, qui ex 1 et 2 dtrivantur, nunquam ae- 

 quales esse pusse. 



