— 243 — 



$ u p p o s i t i o 



i ma ) est impossibilis, ex theoremate praemisso, et quia non 

 dantur duo quadrata in numeris integris, quorum diffe- 

 -rentia sit =~ 1. 



a da ) est impossibilis , quia z* — j 2 non est radix cubica sum- 



mae z 2 -+- y 1 ; scilicet z 2 -f~ y- non est zz: z 6 — 3z 4 j* 

 -+- 3 z 2 j 4 — j s . Nam z 5 > z 2 ; porro z > y, ergo et z* > y\ 

 et z 2 (j 2 - 1) >/(>" a - '0'; proinde 3 z 2 (j 2 - i) > 3 j 2 (j 2 ~ i), 

 sive' > 3 j + — 3 j 9 '; per consequens 3z''(j 2 — O - / 4 ^ 2 / 4 

 — 3j*. Est vero 2j + — 3j->j, ergo et 3 z° ( j 2 — i)— y* 

 multo majus quam j; ideoque J" (3z 2 (j"'— i) — y*)">y z t 

 et proinde multo majus quam y l erit. Vidimus itaque 

 z 5 esse > z 2 , et - 3 j 2 z 2 -f- 3j + z 9 - j s > j 2 ; ergo z 6 — 3 z + j 2 

 -f- 3 z' 2 j + — y 6 multo majus quam z 2 -f- j 2 esse debet 



3 lia ) est impossibilis, quia summa z a -f-j 2 differentiae z a — y 1 

 nunquam aequaiis esse potest , nisi casU jzzo. 



4 ta ) est absurda ; nam summa non est minor differentia 

 eorundem numerorum } ac mn <* m z ti 3 . 



5 ta ) est impossibilis, quia ex theoremate praecederite patet, 

 -expressiones z 2 -i-j 2 et z 2 — j 2 simul quadrata et pro- 

 inde biquadrata non esse posse. 



<6 ta ) est impossibilis ; quodsi enim z Q -f-j a =:m J , etz 2 — j 2 =mn* 

 essent; haberemus quoque , z 2 -f- j 2 -f- z* — y" sive 2 z 2 = 

 m (m* -f- n 4 ), et m vel 2 vel factor ipsius z esse de- 

 beret. Si prius ; erit j 2 = m 2 — n + = 4 — n + , ergo n rr 1, 

 et j irrationale. Si autem posterius; perspicuum est, 

 numerum m. ob 2j 2 zzm(m 2 — n 4 ) factorem esse quan- 

 titatis j , quod est contra hypothesin , cum z et j sint 

 numeri inter se primi. 



7 ma ) est absurda, cum summa minor non esse possit differen- 

 tia eorundem numerorum. 



8 va ) est absurda ob eandem rationem. 



42* 



