— 248 — 



Demonstratio. 



Quaevis harum expressionum seriem numerorum integro- 

 rura in infinitum crescentium praebet, si loco T et W omnes 

 numeri naturali progressione progredientes in iis substituan- 

 tur. Nullum autem terminum primae seriei simul terminum 

 secundae esse posse , id est , formulas T ( T -f- 1 ) et 9 W 1 

 9 W a >f 3W nunquam inter se aequales esse , si T et W 

 significent numeros integros positivos , nunc demonstravimus. 



Quodsi T (T-4- 1) = 9W4-9WV 3W= 3W (3W'+W-f 1) 

 esset ; haec aequalitas non nisi per sequentes explicari posset 

 casus : aut enim esset 



i°) quantitas 3W vel factor ipsius T, vel 



2 ) factor summae T -j- 1 , vel 



3°) numerus 3 esset factor numeri T, et W factor numeri 

 T -|- 1 , vel tandem 



4°) numerus W factor quantitatis T et numerus 3 factor 

 summae T-+- 1. 



Si i°) quantitas 3W esset factor numeri T; haberemus 

 T:zz3WV, significante V numerum quendam integrum et posi- 

 tivum ; proinde T (T -4- 1 ) esset — 3WV (3WV -{- 1 ) ; 

 haec vero expressio formulae 3W (3 W a -j- 3 W -4- 1) aequa- 

 lis esse deberet, unde sequitur: V (3WV-f i)-3W(W+ 1) -+ 1, 

 vel V — i=3W (W -f- 1 — V a ), et quantitatem V — 1 per 3W 

 divisibilem esse necesse est. Sit jam V — izz3WR, hincque 

 V = 3WR -4- 1, et aequatio V — 1 = 3 W (W -H 1 — V 2 ) abit in : 



