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E) x — y = m 2 Z, et x 2 -f- xy + y 2 zz mZ 2 , vel 



F) x — y = m 3 Z, et x 2 -f- xy -hy 2 zz Z 2 , vel 



G) x — y = m ; et x 2 -f- xy -f- y 3 = m 2 Z 3 . 



H) x — - j zz: Z ; et i 2 + x/ + y 2 zz m 3 Z 2 , qui casui 

 ad praecedentem redit, permutatis inter se m et Z. 



I) x — yzzZ 2 ; et x 2 -j-x/ ^- y- = m 3 Z. 



K) x— y = Z 3 ; et x 2 + x/ -j- y 2 = m 3 . 



L) x — /zz m 2 ; et x 2 -f- x y -{- y 2 zz m Z 3 , qui casus ad 

 casum I reducitur. „ 



M) x — y = m 3 , etx 2 -\~xy-±-y 2 =Z 3 , qui est casus K. 



Omnes vero hosce casus partim ad absurdum, partim ad impos- 

 eibile ducere, ita demonstrabo : 



i°) Si in B, E, F valores ipsius x, scilicet y-f-z, 

 y -|- m*Z, et y -f- m 3 Z in expressionibus x a -+- xy -+- y 3 zzz% 

 x 9 -f- x/ -f- y a zz mZ a et x a -t- xy -+- j a — Z a substituan- 

 tur; hae expressiones abeunt in 3y a -+- 3yz -f- z 2 — z s ; 3j* -+- 

 3ym s Z -+- m + Z a zz mZ a , et 3J 2 -f- 3/m J Z -f- m«Z 9 zz Z a , 

 quarum absurditas per se patet, cum /, z , Z et m sint numeri 

 antegri et positivi. 



2') Eodem modo, si in A, G et H loco x valores 

 y-\- l, y -j- m et y -f- Z substituantur ; formulae x a -|- xy -+- y* 

 = z 3 ; x a -f- x y -+- y* = m a Z 1 ; et x a -+- x / -+- y a zz m s Z" 

 mutantur in 3 y a -f- 3 / -f- 3^zz z 5 ; 3 / a -+- 3/ m -+- m a zz m a Z* et 



