— 253 — 



3 r *4-3Zy+Z a — m 'Z\ ex quibus dedacitur : / = ^i±^^l% 



— 3m -t-m-/fl2 Z 3 — 3) i — 3 Z -1- Z 3 ."/(12 m» — 3) 



yzzz g etyzzz - 6 - k - £; expres- 



siones autem V(\iz z — 3) vel V(\iZ z — 3) sive V(\<zm z — 3), 

 nullo modo rationales fieri posse in numeris integris , nisi casu 

 z, vel Z vel m zzz i sequenti modo patebit. Si enim 12Z 3 — 3 

 *— : p 1 statuatur ; p per 3 divisibile esse necesse est. Sit eTgo 

 p zzz 3P, unde erit l\z z — i z: 3P 2 . Est autem l\z z — i nu- 

 merus impar , ergo et P debet esse numerus impar , formae 

 2 T-f i; ex quo sequitur z z zzz 3T (T 4- i) -4- i. Sit zzzz i -r-V, 

 et erit 3V + 3?+ V ! z: 3T (T+i) et numerus V per 3 

 divisibilis. Si itaque loco V substituatur valor 3W, haec aequa- 

 tio abit in T (T -+. i) =z 9W 5 -+- 9W 2 -+- 3W, quae vero im- 

 possibilis est ex theoremate II, ideoque si retrogrediamur , fer- 

 mula 12. z z — 3 nunquam zzz, p a poni poterit, nisi in casu W et 

 T=o, sive z zzz 1. 



3) Formulae C, K et M impossibiles sunt. vid. Theor. I. 



4) Superest casus I vel L, qui sequenti modo ad casus 

 A, G vel H in N. 2 reduci potest. Valor x zzz y -+- m in ae- 

 quatione x~ -f- ac y -j- y- zzz m Z z substitutus , illam in 3 y 0, 

 -+ 3 m~y +• m* zzz mZ z transmutat , unde oritur y -+- ~j 



zzz.\y(\imZ z — 3m 4 ). Et perspicuum est , quantitatem 

 V(i2 77iZ J — 3 77z 4 ) rationalem fieri debere. Ponamus 12 mZ 3 

 — 3 m* zzz Q a , et Q per 3 m divisibile esse oportet. Sit 

 Q zzz 3wiR; aequatio nostra evadet 4Z 3 — m 3 zzz 5mR a , et Z 

 per 7n erit divisibile. Facto igitur Z zzz mZ ; , obtinebimus 



m~ (4 {Z'y — 1) ~ 3 R 9 , et -■ ' 3 ~ -^ erit quadratum. Proinde et 



