III Pr obl em e. 



Trouver tintegrate complette de cette equation dijferentielie du troi- 

 sihm degre: x^ii|-|- sxxy ^l^^-f- ^xyy ^-|^^-f-y^^^ ~o. 



S t u t i n, 



II s^agit donc ici de rendre R rr: o, et en mettant pour 

 R sa valeur indiquee ci-dessus, nous aurons a resoudre cette 

 equation; x^^^-\- y^ — -^ 2 CL— o , qui , etant comparee avec 

 celle du seconde Probleme preliminaire, donne v — CL et n ^ a, 

 donc son integrale complette est Qj^ y'' 21 : -. 



Maintenant ayant Q_z=:x — -Hy*— — P, nous aurons a 



resoudre lequation x ^ -j- r — — P zz: v" 5( : * , qui etant coni- 



*■ dx '' d y "^ y 



paree avec celle du troisieme probleme preliminaire donne y — P, 

 71 zz: i^ X zz: z^ ce qui etant substitue donne lintegrafe suivante 

 P rzy 33 .' - — y^ 21 : ? , ou bien, puisque les ibnctions sont arbi- 

 traires, on aura P z= j' 51 : - -i- / ^ : - . 



Enfin donc puisque ¥ ~ x -~ -\- y — , nous aurons cefte 



^ ^ dx '^ -^ dy' 



^quation a resoudre : x — -l^ r — =1: r" 2f : - -f- r • ^ : * , qui com- 

 paree avec Fequation du troisieme probleme preliminaire nous 

 fournit i; — z, n iz: o, et pour X nous aurons deux valeurs dii- 

 fcrentes , ou X=:2, ou Xzzzi^ car il est cvident que Tun et 

 lautre pourra etre traite de la meme maniere; par consequent linte- 

 l^rale complette de lequation proposce sera 5: =: ^: ? —y 2i; - ^y ' 2J: -, 

 ou bien en changeant les caracteres, signes des fonctions afbitraires, 

 il y aura z := 51 : ^-t-y 23: - -+-/ ^: - . 



IV 



