11.^ Passons a la seconde supposition , et faisonsyr?, 



p et q ecant des nombres premiers entreux, et X un nombre en- 

 tier. En ce cas nous aurons : N zz: (—'Z-i) (p^ — q"^) , et cette 



cxpression devra donc etre un nombre entier : ce qui ne peuf 

 arriver, a moins que x'^ — i ne soit divisible par q\ Or x"~i 

 est izi(x-i-i) (x — i). Par consequent lun de ces facteurs 

 sera divisible par q~ ^ ou chacun d'eux le sera par q ^. ou enfin 

 X -+- I sera zii a af ; X — i ~ |3 ce , et g ~ ne ziz pf- Dans 

 le premier cas , cest - a - dire , si x -f- i est divisible par q\ 

 en mettant ^--— =: m , nous aurons N — m (mq^— 2) (^p'-—q'). 

 Dans le troisieme cas nous aurons ^^-i zn m , et ^JZT-i zz: n ; par 



q q ■ 



consequent 2 sera zz: (m — n) q. Or m, «, q etant ici des 

 nombres entiers , et q plus grand que Tunite , cette (ierniere 

 equation ne peut subsister que dans rhypothese m — ?z zii i, 

 ctq~2. Par consequent x sera r 2 .n -t- i et Nrn (/z-h i) (p^ — 4), 

 ou p est un nombre impair et n un nombre entier quelconque. 

 Le quatrieme cas enfin demande un examen plus detaillef. "Voici 

 donc les expressions que les trois premiers cas nous fournissent : 



x — mq^' — i; y~t; N=izm(mq^ — ^^(p^—q') 

 X ~ mq" -h i j y ~t -^ ^ ■—im (mq* -+- 2) (p^^ — q'} 

 X ~2.n -^- I ', y — l', N— ^ (n-j-i) (p'-— 4) 



oij il est a remarquer, que celies de la troisieme supposition, se 

 trouvent deja comprises dans la premiere, de laquelle elles pcu- 

 vent etre deduites , en y mettant q— 1 et m :=: ^^i^. H ne 

 nous reste donc que les valeurs suivantes : 



X zn mif zt I 5 / — ^ j N — m (mq' it 2) (p^ — g^) 



ou m, p et (jf sont des nombres quelconques , mais dont les 



deux 



