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II nous reste encore un cas a examiner. C*cst lorsque 

 dans requation N ~ '^~^^\!'^~'" (p^ — 9 ) les nombres X -4- i 

 et X — I ) sans avoir q pour facteur , peuvent se defcomposer 

 en des facteurs qui sont multiples des facteurs de q ; cest - a - 

 dire lorsqu'il y a en general; x -f- i zn a af; X — i zz: (3 C e ; 

 q.zzae~cf^ les quantites a, |3, a, /, c, e etant telles que 

 ces trois efquations puissent subsister en nombres entiers. Pour 

 en decouvrir les rapports, ajoutons et soustrayons les deux pre- 

 mieres equations , apres y avoir substitue pour a la valcur — , 

 tiree de la troisieme , et nous obtiendrons les deux equations : 

 X ~ — (af^ -i- ^ e) et 2. — ~ (cif — |3e ), auxquelles il fau- 

 dra satisfaire. Or il est clair que x ne dcviendra un nombre 

 cntier que dans les seuls cas suivans : 



1°) Si c m 2 e ; car alors on aura x ~ a /' -f- (3 e*. 

 Cette meme valeur de c substituce dans la seconde equation, 

 la change en : 1 — a. f^ — |3 e*. En prenant donc / et e a vo- 

 lonte , on determinera a et /3 par les regles connues de TAna- 

 lyse indeterminee, et ces nombres etant trouves , on aura : 

 X = af + ?e\r = t= ± = j£j, et N r= a(3 (p= - 4 e'f% 

 ou p est un nombre premier k 1 ef quelconque. 



2") Si c-e. En ce cas x cst :=^Jl±±^y et 2ra/*-(3c\ 



En prenant donc encore f et e a. volonte , on trouvera une in- 

 finite ds vakurs de a et (3 qui satistont non seulement a cette 

 derniere equation , mais qui sont necessairement telles qu'ctant 

 substituees dans la premiere , x devienne un nombre entier 

 ziz I -i-/6e'. Les valeurs de y et N, qui lui repondent, sont -^, 

 ct a|3 (p^ — e7^\ 



Ncva Acta Aeud. Imf. Sdent. Tom. XF, CL S") 



