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II est aise de se convaincre que toutes les autres suppositions don- 

 nent des N au dessus de 100. Voici donc toutes les valeurs 

 de N qui resultent de Thypothese que x soit un nombreentier, et 

 y une fraction : 10 j 275 30 ; 42 ; 49; 50 j doj 77; 90 ; 99; et 

 dans ce norabre 50 et 77, sont des valeurs entierement nouvelles. 



Quant aux valeurs negatives de N, elles se trouvent par 

 les memes formules, en y prenant /5 < 9. 



III. La troisieriie supposition est que x et y sont Tun 

 et Tautre des fractions. Pour resoudre ce cas, donnons a notre 

 equation la forrae x"" ::::: (^— ^>^' ^^' . Cette equation ne peut 



s'expliquer que par les deux hypotheses suivantes : 



(N-i)c/'-»-p zz:Dn:P", et p' - 9' = D =: Qt ; . 

 (N-i) 9* -+-/3' — m P^ et p' - 9' 1= m (t. 



Dans chacune de ces hypotheses jtJ et 9 doivent ^tre regar* 

 des comme des nombres premiers entreux. Commeii<jons par 

 considerer les equations (N — i) 9* -f- jo* ~ P', et p^ — 9 zn. Q!» 

 Or nous avons demontre ailleurs (voyez le Tome XIII. des 

 Nova Acta ) qu'une difference de deux carres p* et 9 pre- 

 miers entr'eux ne devient que dans deux cas egale a un carre; 



a) Si p = A* -h B*^, ct 9 =: A^ — B* , A et B etant des 

 nombres premiers entr'eux , dont Tun est pair , Tautre 

 impair. 



P) Si p ~ Ai:^- , et 9 = ^~?! , A et B etant Tun et 

 Tautre des nombres impairs , et premiers entr*eux. 



Cela 



