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Cela pose, substitiioiis les premieres valeurs p -=: A* -f- B% 

 tt q zz: A' — B'' dans requation : (N — i) qi* -H p"" :=i ^\ poiir 

 la translbrmer en : N (A^ — B*)' -f- 4 A^ B' — P . Par conse- 

 quent N ser^ — ifjji-g^^^'^— -* ".' , ou P, A, B* sont supposes 



etre des nombres entiers. * La question est donc reduite a de- 

 terminer ces valeurs ensorte , que le quotient N devienne un 

 nombre entier : ce qui pourra se faire par les trois hypotheses 

 suivantes 1 



a) Si P -I- 2 A B est divisible par (A^ — B')" ; c*est-a-dire, 

 si P H- 2 A B est =z (A^ — B')' R, R etant un nombre 

 entier quelconque. En ce cas N devicndra 

 nz R ((A' — B")' R — 4 A B) . 



6) Si P — 2 A B est divisible par (A' — B')% c*est-a-dire, 

 si P - 2 A B izi (A" — B") R , ce qui donne 

 N zr R ((A' — B )' R -f- 4 A B). 



c) Si chacun des facteurs P -|- 2 A B et P — 2 A B est di- 

 visible par A*^ — B''. Mettons pour cet effet 

 P-f-2 AB - (A' — B")R, et P- 2 AB = (A'-B') Sj 

 par consequent N sera ~ R S. Or la premiere equa- 

 tion donne P ~ (A' — B^) R — 2 A B , et la seconde : 

 ^Pizi (A^- B^)S-|-2aB^ donc R — <-^"— ^!|_^y A-g, 



et N — RS zizS (tAl^Jlll±rtAJ). Cette valeur, ainsi 



que celle de R, doit etre un nombre entier. 11 faut donc 

 que 4 A B soit divisible par A'^ — B*. Supposons que 

 -lAL. soit m T , et A sera zzi 2 » ^ >^ 'T'^ -^ -» . Mais 



comme il ny a point de T en nombres jehtiers qui 

 rendit 1'expression >/ (T* -J- 4) rationnelle , A seroit un 

 nombre irrationnel, si T, comme nous le supposons ici, 



ctoit 



