Ici les valeurs i, 17, 20, 52, 57 et 97 sont nouvelles. 

 Toutes I s autres suppositions donnent ou i , ou des nombres 

 au dessuj de 100, ce que nous allons demontrer : Prenons 

 d'abord A — B~i, etR~i, et prouvons qu'en ce cas la 

 valeur inferieure de N est toujous ~ i. Car si A — B ~ i, 

 A sera — B + i, et A'' ~ B*h-2 B -+- i , donc A^-B^zz 2B-1-1 ; 

 et (A' -- B")* =: 4 B' H- B -4- I. Or 4. A B — 4 B -H 4 B, 

 donc N — (A^ — B*)~~4AB ~ I. Supposons maintenant que A B 

 soit zz: m, m etant plus grand que Tunite, et (A' — B)'— 4AB 

 sera ~ 4 B (m* B — m — B). Cette expression pour m ~ 2, 

 et B — 6, devient zn 384, ct par consequent plus grande que 

 100. Donc (A"" — B*)^ — 4 AB sera un nombre plus grand 

 que 100 , si la diiTerence de A et B surpasse 1'unite , et si 

 A> 7. A plus forte raison les valeurs N _- R ((A — B')' R— 4AB) 

 et N ~ R ((A^ — B')" R -+- 4 A B) surpasseront - elles ce terme, 

 si A > 7, A — B > I, et R > I. Il s'en suit de la que les 

 nombres : i, 17, 20, 52, 57, 97 sont les seuls nombres po- 

 sitits au dessous de 100, resultans de la formule preccdente. 



Enfin nous remarquerons encore ici, quon peut toujours 

 trouver une infinite de x Qt y en fractions qui rendent Texpres- 

 sion (x* — i) (/* - i) cgale a runitd. Il suffit pour cet eftet 

 de prendre dans les formules preccdentes R— ij A — B— i, 



et X zz: (A" — B-i^ — o AH 



2AJi * 



Examinons maintenant le cas (3 , ou p ~ AL±-5! , et 



q m 1L~_L', A et B etant ici des nombres impairs et premiers 



entr'eux. Comme cette hypothese ne differe que trcs - peu de la 

 precedente , on peut se servir du meme raisonnement, qui con- 

 duira .enfin aux equations ; N — R((A' - B')' R -f- 4AB; 



