<iue toiites les quantitcs qui entrent dans les differentes expres- 

 sions de N soient des norabres cntiers. Parcoiirons donc 

 toutes ces formnles de Nr. III et Nr. IV, dans la suppo>ition que 

 lcs elcmens , doiit elies sont composecs, soient en tout ou 

 €n partie des fractions, et tachons de les determitier en 

 sortc, que lc5 valeurs de N qui en resukent, sojent dcs nom- 

 i)res entiers. 



Commen^ons par 1' equntion N ~ R ( (A" - B')"' R -^- 4AB) , 

 dans laquelie il est essentiel dc' distinguer les trois cas 

 suivans : 



Ci) A et B peuvent etre des nombres entiers et R une 

 fraction. 



b') R est un nombre entier, et A et B des frnctions. 



c) R, A, ct B sont des fractions. 



1°) Sj A et B sont d^s nombrcs entiers, et R une 

 fraction izr — , oA V et W doivent etre regardcs comme 



des nombres entiers et premiers entr' eux, N deviendra 

 — V ((■'''"')' V ±''-^)- Or A et B sont ou 1' un pair, 



r autre impair, ou 1' un et 1' autre impairs. Dans le premier 

 cas, A' B etant un nombre impair, il faut que W, pour 

 etre un factcur de cette difference, soit impair aussi. Or 

 cette memc quantite W (a cause de — — zz: a un nombre en- 



ticr) doit etre en meme tems facteur de A ou B, (pnisqu' elle 

 fte sauroit etre ni 2 ni 4). Mais il est impossible que W soit 



R c . a 



