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un punto variabile M di C, conduciamo per esso e normalmente alla curva un segmento 

 MM' di lunghezza costante a, che formi con la normale principale alla curva un angolo © 

 variabile con leggo di continità da punto a punto. Se denotiamo inoltre con x\ le coor- 

 dinate di M' , con oc/, 2jj-j Ài rispettivamente i coseni direttori della tangente, della nor- 

 male principale e della binormale alla C, avranno luogo le equazioni 



(1) x = occòsa -+- (£cos© -+- Aseno) sena 



nelle quali per maggiore semplicità abbiamo omessi gl'indici. Determineremo il valore 

 di © (in funzione dell'arco u di C) ponendo la condizione che la curva C' (luogo dei 

 punti il/') sia traiettoria isogonale sotto un angolo costante a dei cerchi di curvatura 

 u = cost. della superficie canale, che ha per asse C e per raggio a. 



Derivando perciò le (1) rispetto ad u e facendo uso delle forinole del Frenet (*), 

 troveremo 



, , / senacos©\ Ida \\ Y /do 1\ „ 



(2) Aa=(cosa - )a — sena seno , £-i-senacos© )À , 



\ p I \du x) \du xj 



ove si è posto per semplicità 



/ /dx\ 2 dii il senacosox » /do 1\ 2 



e dove abbiamo indicati con a i coseni direttori della tangente alla C ; ma poiché 

 pei coseni degli angoli della tangente ai cerchi di curvatura considerati si ha 



1 "òoc „ 



— e, seno 



sena òo 

 dovrà sussistere l'e^uasrlianza 



A .la} A /do 1 



Sa- - A cos rr = sen a I 



sena do \dù x 



da cui 



,_. do 1 / cos©\ 



(3) i — = ( cota coto - , 



du x \ p ) ' 



avendo A il valore determinato dall'equazione 



, .. . 1 / sen acoso 



(4) A =z (cosa 



sena \ p 



Facendo nella (2) le sostituzioni (3) e (4), essa si semplificherà nella 

 (5) a' =- asènff — £ sen ©coso - -+- A coso cos C7 



da cui derivando e avendo riguardo alla (3) non che alle forinole del Frenet, seguirà 



(*) Bianchi, Lezioni di Geom. diff. Voi. I, pag. 457. 



