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 facilmante l'altra 



P . cosasene? 

 A -V = (Acosa — sellerìa? H — a 



P P 



sena / cos~<7\ 



-f- sena - Acos» 



p \ sen a 



sen'a\ 



sena -lAsenO'/i, 



sena; 



rappresentando // il saggio di flessione della C . 



Vediamo ora qual valore bisogna attribuire a a, affinchè la flessione della C' sia 

 eguale a quella della C; dovremo perciò porre nella precedente equazione e nelle analoghe 



— 7 = — = cotb, dalle quali, quadrando e sommando e facendo opportune riduzioni, si 



deduce l' identità 



(sen 4 acot 2 ò — sen 2 acos 2 £cos 4 <7 — senV cos 2 cr seira cos 2 6)cos 2 » -f- 

 -l-( — 2 sen 3 acosacot&-f- 2 sena cosasene coso cosV-i- 2 sena cosasene cosbsen 2 acos 2 a) cosa -+- 

 -4- (sen 2 acos 2 a — cos 2 asen 2 6cos 4 0" — sen 2 asen 2 òsen 4 cr — sen 2 acos 2 &senV) = 



che dovrà essere soddisfatta per qualunque valore di a. Ciò esige che sieno contempo- 

 raneamente verificate le uguaglianze : 



sen 4 acot 2 o — sen 2 acos 2 &cos 4 (j — senVcosVsen acos 2 b — 0, 

 — 2sen 3 acosacotó -+- 2senacosasen&cos&cosV -+- 2 sena cosasene cosi sen 2 0"cos 2 0" = 0, 

 sen 2 acos 2 a — cos 2 asen 2 òcosV — sen 2 asen 2 &sen 4 o" — sen 2 acos 2 £sen 2 <r = 0, 



le quali, come facilmente si verifica, equivalgono all' unica 



(a) sena = senb cosa , 



che è una relazione tra le quantità a, b, o che ne determina quindi una, quando siano 

 note le alire due. 



Se ne conclude che per ogni valore di o che soddisfa la (a) si hanno ce 1 trasfor- 

 mate della C con la stessa flessione costante, le cui equazioni non saranno altro che 

 le (1) ove ad o si sostituisca il valore che si ricava integrando la (3). Questa, essendo 

 un'equazione differenziale ordinaria, facilmente riducibile al tipo di Riccati, il suo 

 integrale generale dovrà contenere una costante arbitraria, ad ogni valore della quale 

 verrà a corrispondere, per ciascuna a, una particolare trasformata della 6', le quali, nel 

 loro insieme, formeranno quindi una doppia infinità di linee della stessa flessione costante. 



2. Superficie delio spazio ellittico con un sistema di linee di curvatura a 

 flessione costante. — Passando alle superficie e supposto per semplicità eguale a -+- 1 

 la curvatura del nostro spazio, consideriamone una determinata S della classe. Il suo 

 elemento lineare, riferito alle linee di curvatura u e v, sarà della forma 



ds 2 = Edu 2 -+- Gdv 2 - 



