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 e clie determineremo ponendo l' ulteriore condizione che le linee di uno dei due sistemi. 



p. es. quello delle v, siano tutte della medesima flessione — = cost. e Seguiremo per ciò 



il metodo dato dal prof. Bianchi nel § 10 della sua Memoria: Sopra i sistemi tripli 

 ortogonali di Weingarten (*) ove trovasi posto e risoluto il problema in questione nel- 

 l' ipotesi dello spazio ordinario. 



Indicando anzitutto con /?,, p 2 'i raggi principali di curvatura delle linee u e v e posto 



- = cotb (b = cost. c ), 

 P 



per una nota relazione tra la flessione e le curvature normale e geodetica di qualsiasi 

 linea tracciata su una superficie, dovrà sussistere l'eguaglianza 



/ 1 x 2 / 1 Ìi/Èy 



(— H- (-7=-T— ) =cot 2 &, 



\p I W EG k> / 



cui si soddisfa ponendo 



(6) — = cot&sen0, ■ ■ — = cot&cos®, 



P 2 [/ EG to 



denotando (p una funzione incognita di u e v. Ma affinchè l'elemento lineare 



(7) ds 2 = Echi 2 -+- Gdv 2 



appartenga ad una superficie, di cui u e v siano le linee di curvatura e p x , p 2 i cor- 

 rispondenti raggi, è necessario e sufficiente che siano soddisfatte le equazioni 



i _ i \ aiog|/l a / i \__ Q 



Pi pj * v to\p» 



1 1 \ Mogi/G D / l- . 



i 



P1P2 



i ( a / i_!>i/g\ | a / i_VA) ] 



che sono le note formole di Codazzi e Gauss (**). 



•1 ò\og\/~E 



Dalla l. a , sostituendo ad - - e a — i loro valori (6), si ricava subito 



Pz ?y 



(*) Annali di Matematica pura ed applicata. Serie II, Tomo XIV. 

 (**) Bianchi, Lezioni ecc. Voi. I, pag. 499. 



