è riducibile alla forma 



(7*) ds* 



34 



od 



sen 2 o \ ( — ) dir-\- cos'ddv 2 \ , 



mentre i due raggi principali di curvatura hanno i valori (12), essendo e (p due 

 funzioni di u e v soddisfacenti le (13). 



3. Trasformazione delle superficie dello spazio ellittico con un sistema di 

 linee di curvatura a flessione costante. 



Il problema, a differenza del caso iperbolico, ha sempre soluzione. Supposto infatti 

 di partire da una superficie S della classe considerata, indichiamo con a?,- le coordinate 

 di un suo punto arbitrario M, con £,■ i coseni direttori della normale alla superficie e 

 con »pj-, t,i quelli delle tangenti rispettivamente alle linee v ed u ; allora, indicando con a 

 la lunghezza costante di un segmento MM' normale alle v e inclinato sulle corrispon- 

 denti linee u di un angolo a (funzione per ora incognita di u e v), gli estremi M' del 

 segmento stesso formeranno una superficie rappresentata dalle equazioni 



(h; 



x z=z xcosa -+- (£seno -+- £cos») sena 



Vediamo ora di determinare o sotto la condizione che la nuova superficie S' sia della 

 stessa specie della S; dovremo anzitutto esprimere il fatto che le linee v della 5' sono 

 curve della stessa flessione costante come le corrispondenti v della S. Per questo, avendo 

 presente i risultati del N.° 1, basterà esprimere che le linee in questione sono trajet- 

 torie isogonali, sotto l'angolo a determinato dalla relazione sena = sene cosa, dei cerchi 

 di curvatura delle superfìcie canali, aventi per assi le linee v di $ e per raggio a. 



A tale oggetto scriviamo le forinole fondamentali 



(A) 



òx 

 Da 



Òli 



od òx s 



seno —v, — -= senocosc • L , 

 oa òv 



cososen® — r?, — L = — seno — x — cososenS— -e — cosocos'p-— (,, 

 r òu l ' òu òu r òu h r òu 



òu 

 ^ . ,30 



— = COSOCOS® — Y) , 

 OH Oli 



ÒV 



( coso cos# cos<7> -+- -- ) C -, — = — -sen#-£ , — = — seno cos0- x — 

 \ òr/ òv òv 



\ . — ( cosocos0sen(^n — —)};-+• send't?, 



le quali non sono altro- che le (41) a pag. 498, Voi. I delle Lezioni del prof. Bianchi, 



ove alle quantità E, G, ■-, - si sono sostituiti i loro valori (11) e (12). Derivando 



n P% 



