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la quale è identicamente soddisfatta ricordando che tra a, b e a sussiste la rela- 

 zione (a), N.° 1. 



Con ciò resta provata la compatibilità delle due equazioni (17) e (19); di guisa che 

 il valore di o che figura nelle (14) sarà determinato dall'equazione ai differenziali totali 



<io = rcotrtsen& -+- cos&cos(o — (f>)\cot(j — 

 L T J dll 





cos&sen^ cos# — tgo - cosa senO 



cotrt senbcosb seno cos# 



dv 



e conterrà quindi una costante arbitraria. Di qui risulta che per ogni valore di <j o 

 di a vi sono co 1 superfìcie trasformate, e poiché a può farsi variare da o all'oc, se 

 ne deduce che co 2 sono le trasformate S' che possiamo ottenere con la costruzione su- 

 indicata, appartenenti tutte, come ora andiamo a provare, alla classe medesima. 



4. Verifiche relative alla superficie trasformata. — Per quanto abbiamo veduto 

 sopra, basterà che ci limitiamo a riconscere che sulla S' le linee u e v, corrispondenti 

 a quelle di curvatura di S, sono esse pure di curvatura per S' . Intanto, per essere u e v 

 ortogonali, l'elemento lineare ds della S' sarà della forma 



ove E x avrà il valore 



(20) 



ds'°~=E'du 2 -hG'dv 



*•=*» ©' 



W 



che risulta eliminando - — tra le (16) e (17); quanto a G' osserviamo che se si eli- 



ou 



d (O — <p) 



mina 



ì>y 



tra le (18) e (19) otteniamo 



Ì)X 



(21) — — = sena coso 



da cui 



(22) 

 e quindi 



— senbcosd-x -\- ( — tgcrcososen# -+- cotrt sene seno cos^) £ 

 -+- senO • r? -+- (cotrt sen& cos# coso -+- tgcr sen# seno) t, 



G = S ( — 1 = sen ocos o 



ds' 2 = sen 2 b ( — ) du 2 -\-seirbcos 2 c)dv, 

 \Du/ 



Questo è dunque l'elemento lineare richiesto che, come si vede, non differisce da 

 quello (7*) che abbiamo determinato per £. 



