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Passiamo ora a calcolare i coseni direttori della normale alla S' e quelli delle 

 tangenti alle sue liuee coordinate nevi cui valori ci occorrono onde poter verificare 

 che queste linee sono di curvatura per la superficie. Gioverà anzitutto considerare in- 

 sieme alla (21) la 



(23) — = (cosasene -4- sena cos& (fi? — (ù)\ ( coto coso • £ -+- 1? — cotoseno-£ ) — 



òu \ / \ I òu 



ÒG) 



che si ottiene dalla (15) eliminando — tra essa e la (17). Allora se con 2' indichiamo 



ou 



i coseni direttori della normale predetta, essi dovranno soddisfare le quattro equazioni 



simultanee 



da cui, avuto riguardo alle (14), (21) e (23), si deduce 



(24) f ' = senasené? • so — (cosasen#seno -+- seno* cosftcoso) £ -+- cosocosft • iq -4- 



-4- ( — cosasene coso -+- sena cosOsena) t, ; 



mentre pei coseni direttori t/ t , £{ delle tangenti rispettivamente alle linee v ed u, os- 

 servate le (21), (23), (17), (20) e (22), non che la (a), si trovano facilmente i valori 



, 1 òx „ „ 



Y) = ,— = coso" coso • l -4- sene • n — seno" seno ■ L , 



1 [/E' ou l 



25 ) \ <., \ ox ai n a\ e 



l = , — = — sena cosf -x -\~{ — seno" coso sene/ -t- cosa seno oosu) e •+- 



i/G' ov 



-+- cosasene • iq -+- (cosa cos# coso -4- seno sen^ seno) t, . 



Ora siamo in grado di dimostrare che anche sulla S' le linee coordinate u e v sono 

 di curvatura; basterà, per ciò verificarlo per un sistema, p. e. per quello delle linee v, 

 che cioè sussiste la relazione 



(26) ?S = JL*< 



OU p' 2 òli 



indicando — - un fattore di proporzionalità. 



Derivaudo perciò la (24) ed osservando le (17) non che la (22) medesima, si avrà 

 l'eguaglianza 



(27) ^4 + B^^ 



ou 



ove abbiamo posto per semplicità 



