— 40 — 

 (31) — = cotbsen<p' , 



Pi 



ottenendo così per il valore del raggio di curvatura corrispondente alle linee v di S' 

 un'espressione identica a quella che abbiamo trovata per il raggio di curvatura di S 

 relativo alle sue linee v. 

 Se infatti poniamo 



sena cos& senO -f- cosa senb cos tp — seno sena cosO cos tp 

 cosa seno -+- sena cosb cos tp 



ove 



V = a — ip ; 



basterà mostrare che sussiste la disuguaglianza 



1 _ <f)2 > o 



o l'equivalente 



(cosasene H-senacosocos^) 2 — j (senacoso-i-cosasen&cos^)sen# — sen&sen<7senjpcos# J 2 



(cosasene -h- sena coso cos tp) 2 

 o infine l'altra 



>0 



(cosasene -t-senacosocost/;) 2 — | (senacoson-cosasenocos^) seno — senosenaseni^cos^j 2 ^ 0. 



Il primo membro di quest'ultima, qualora si moltiplichi il primo termine di essa per 

 sen 2 # h- cos 2 6, si vede subito che è un'espressione della forma 



(32) LseirO -+- 2il/sen0cos0 -+- NseirO 



ove 



ÌL = (cosa senb -\- sena cosb cosipf — (senacosO-H cosasene cos tp) 2 , 

 M= senb sena sentp (sena cosb -+- cosasene cos tp), 

 f N= (cosasene -t- sena coso costp) 2 — seirosenVsen 2 ^/ , 



e poiché, eseguendo facili riduzioni, si trova 



Zr^seiròsei^csen 2 ^/, N= (sena cosb -+- cosa senb costp) 2 



e quindi, osservate le (33), LN= M 2 , ne segue che la (32) sarà un quadrato perfetto, 

 e precisamente il quadrato di 



[/LsenO -+- [/Ncosd . 

 Questo prova che sussistendo allora l'eguaglianza 



