I teoremi del gradiente, della divergenza, della rotazione 

 sopra ana superficie e loro applicazione ai potenziali. 



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MEMORIA 



DEL 



Prof. PIETRO BURGATTI 



letta nella Sessione del 14 Gennaio 1917. 



I teoremi fondamentali del gradiente, della divergenza e della rotazione, espressi 

 nello spazio ordinario dalle note formule 



(0) I grad(j)ds = — I (buda, I divucfo = — I il X nda, rotiKfe = — u A fida, 



J S J a J S J q J S J o 



ove i simboli hanno significato manifesto, valgono ben v nella medesima forma — mutatis 

 mutandis — per le aree piane, ma non per le superficie curve limitate da un contorno. 

 Il Bel tra mi, nelle sue classiche ricerche concernenti la variabile complessa sopra una 

 superficie, trovò alcune formule di trasformazione per gì' integrali di superficie che fanno 

 riscontro a quelle dello spazio ; ma, ingombrate come sono di elementi introdottisi per 

 l'impiego non necessario delle coordinate curvilinee, e limitate a speciali enti analitici, 

 non si presentano in quella forma esplicita e generale atta a rivelarne la natura e 

 l'intero campo delle loro applicazioni. A colmare questa lacuna provvedono le for- 

 mule (10) (11) (11') (12) di questa Nota; le quali sono state dedotte con mezzo facile 

 e rapido dalle (0) relative allo spazio, previa introduzione di operatori superficiali ana- 

 loghi agli operatori spaziali grad, div, rot. 



Fra le applicazioni più interessanti per la fisica matematica delle accennate formule 

 ho scelto quella stessa che fece il Bel trami nello studio sulle discontinuità dei po- 

 tenziali ; studio ripreso e completato recentemente dal Somigli ana (*). Il lettore vedrà 

 quanta maggior speditezza e rigore acquisti cotesta ricerca per se stessa complessa e 

 delicata, e si renderà conto dell'origine di certi enti geometrici che figurano nei risultati. 



(*) Bel tra mi « Intorno ad alcuni nuovi teoremi del Sig. C. Neumann » opere complete 



Tomo III. 



Somigliana « Sulle derivate seconde della funzione potenziale di superficie e di doppio strato » 

 R. Acc. Torino 1916. 



Serie VII. Tomo IV. 1916-1917. 1(1 



