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1. - Indicheremo con (p, u, a rispettivamente uno scalare, un vettore e una omo- 

 grafia vettoriale funzioni dei punti M d' uno spazio S, nel quale è tracciata una superficie o 

 limitata dal contorno s ; poi, con P i punti di a, con n un vettore unitario (funzione di P) 

 parallelo alla normale in P a a, che supporremo determinato in ogni punto e varia- 

 bile con continuità. 



Chiameremo gradiente superficiale di (p (*), e lo indicheremo con grad 3 (£), il vet- 

 tore definito nei punti di a da 



(1 ) grad a (£> = grad$ — (n X grad$) n, 



essendo grad(^ il solito gradiente spaziale. È nient' altro che la proiezione di grad^ 

 sul piano tangente nel generico punto P. Risulta subito, per ogni spostamento dP nel 

 pian tangente, 



grad <£> X dP= d<p ; 



ed è pur manifesta la formula 



( 1 ' ) grad a {(p-ip) = (pgr&daip -+- ipgra,d a (p . 



Più generalmente il gradiente superficiale dell'omografia a sarà definito su a dalla 

 formula 



(1") grad a a = grada — C-£ ni n . 



Inoltre chiameremo divergenza superficiale di u, e la indicheremo con div a ll, la gran- 

 dezza scalare definita da 



(2) diVaU = divu — (^, ") X n (°) . 



Essendo a un vettor costante, dalla (1) si trae per note formule 



gradai Xa = grad<^ X a — (n X gradfJ) (a X n) 



= div.(^a)-(*n)xn; 

 per conseguenza 



(3) gradai X i = div a (a<j5) ; 



cioè vale per questi operatori superficiali la corrispondente proprietà valida per gli 

 operatori spaziali. 



(*) Fu già introdotto da Burali-Forti « Fondamenti per la geometria differenzialo — » Rend. 

 Cir. Mat. Palermo, Tomo- XXXIII, 1912. — (°) Con questi operatori si esprimono i parametri diffe- 

 renziali del Beltrami. Risulta 



Af-p = (grada cp) ? A t (:p,c{;) = grada cp X grada^, A 2 <p = divo grada ^ . 



