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 in cui si son trascurati i termini dell'ordine di £ 2 . D'altra parte 



I divu >dS = de div \\da , I II X VdQ = ì de I u X Vds ; 



•J S J J o J Q J o J s 



talché infine sostituendo e passando al limite per e = 0, risulta 



I div udo- = I (— n) X nda -+- ! (u X n) dlvndo — j u X vds ; 



ossia, per la (2), 



(10) diveda = | (U X n) divncftr — fu X Vds , 



ove qui v è in ogni punto di s normale al contorno e normale a n. 



In questa formula consiste il teorema della divergenza sulle superficie curve, o, 

 come diremo, il teorema della divergenza superficiale. Differisce dall' ordinario teorema 

 che gli corrisponde nello spazio e nel piano per la presenza di un termine in cui figura 

 la curvatura media della superficie che si considera. 



Posto in (10) w = rp2i, ove a è costante, per la (3) si trae 



(11) I gradando - = I <pn divruto — I (pvds ; 



*■' a J a J s 



che esprime il teorema del gradiente superficiale. Più generalmente usando la (4) si 

 deduce per le omografie 



(11)' I gYnd a ada = I an ■ divido - — I avds . 



Infine, ponendo in (10) a /\ U al posto di u e usando la (7) si ottiene 

 (12) I rot Udo- = I (u A fi) divndcr — I U A Vds ; 



•J a J a J s 



che esprime il teorema della rotazione superficiale. 



Si tenga presente che queste formule valgono anche quando (p, u, o gli elementi 



di a diventano, in qualche punto di a, infiniti come - {r = mod(P — Q)), giacche son 



state dedotte da un'analoga formula dello spazio che è valida, come si sa, anche in 

 quel caso. 



Parmi notabile il fatto che dalla (10) si può tosto dedurre il teorema di Stock es. 

 Invero, ponendo u = n A W, si trae 



rotw X nda == — (n A w X v) ds = wXnAv*= wX^; 



J Q J s J s J s 



