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e poiché a può scegliersi ad arbitrio nel campo ove è defluito w, questa formula 

 esprime appunto il teorema di S t o e k e s . 



3. - Abbiasi il potenziale di semplice strato 



$ — f MlHI da (r = mod (P — M)) 



in cui l'integrale è esteso alla superficie a limitata dal contorno s, quale fu considerata 

 nei paragrafi precedenti. Si ricava 



gradj/$ = — I f.t gradp - da 



Nel secondo membro tralascieremo l' indice P per non complicare la scrittura ; ma 

 s'intenderà che ogni operazione sotto l'integrale è fatta rispetto ai punti P di a. 

 Usando la (1) e la (!') si ha 



grad M <I> = — 1^1 grad a - -+- ( n X g rad 7) 1 1 da 



= — I grad 3 " da -+- I - — — da — I u — ^ ndo- . 

 Jo *" J<3 r Ja cm 



Al primo integrale si può applicare la (11) e si ottiene 



/Vox j ,* f grad a( a 7 fztdivn n . f d;; . f^ , 



(13) gradjtf$ — — ~ ^ _ I ?_ _ ^ _ I » _J_ nda -4- — Vds ; 



J a ?" Jo y J £ dn J s r 



formula dovuta sostanzialmente al Beltrami, a prezzo di calcoli laboriosi, per quanto 

 elegantissimi. Nel secondo membro compaiono tre potenziali (vettori) continui attra- 

 verso o - , ed un potenziale vettore di doppio-strato (il terzo) che possiede una nota 

 discontinuità. Si ha dunque 



(14) [grad$] a = — 4^n , 



indicando in generale con [rt] a la discontinuità di un ente qualunque a. 

 Per un potenziale-vettore di semplice strato 



« ' e 



si ha, in virtù della precedente, 



V(P) . 

 da 



[grad (u X a)] = — 4?r (v X a) fi , 



essendo a un vettore unitario costante. Ne consegue per note formule (* 



(*) A. V. G. - T. I, pag. 81. La II (v, ti) è una diade che vale l'operazione (v X ) n, e però 



il (v, n) a = (v x a) n . 



La H (n, V) è la sua coniugata ; quella cioè che si ottiene dalla precedente con l'operatore K. 



