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IV. 



On sait, et cela résulte d'ailleurs des égalités (1), que 

 les coefficients des termes deX, également éloignés des 

 extrêmes, sont égaux entre eux. Donc 



^W-.(n-l) = t[(p-i)(^-l)-/^]-v[(;.-^)(^-i)-/^- 



ou 



ou plutôt 



ç {n) -4- ? [(p — 1) (</ — 1 ) — w — 1 ] = const. 



Lorsque n==0, le premier terme est 1, le second est 

 nul (*); donc enfin 



?(n) -^^{pfj — p--q — 7i) = i. (6) 



Ainsi : des équations 



ap -\- bq = n, ap -\- hq = pq — p — q — n , 



V une admet une solution en nombres entiers, Vautre n'en 

 admet pas (**). 



(*) En effet, il est visible que Téquation 



/)(a-h 1 — g) + 7(& -I- 1) = , 



n'admet aucune solution en nombres entiers. 



(**) On ne doit pas oublier que n est compris entre et (p - 1) (</ — 1) , 

 inclimvement. 



