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VI r. 



Lorsque n surpasse [p — 1) (r/ — 1), le coefficient de oc", 

 dans X, est nul. Or ce coefficient a pour valeur, à cause 

 de la multiplication par (i — x) [\ — x^'^) : 



'r (^0 — r (■« — \) — ^r{^i~ pq) -^ ? [n — pq - 'I ); 

 donc 



o{n) — '^{n — \) = o {,1 — pq) — •. [n - pq — \); 



et, si l'on suppose n = apq-hÇ> : 



On tire aisément, de celte équation, 



?{n)-?{r^pq) = A?)~?W' 

 Mais : 



'j [&.pq) = a -H '1 , o (0) = i ; 



donc enfin 



Ainsi, le nombre des solutions non négatives de Véqua- 

 tion 



ap + bq = apq -+- fi, 



est égal au nombre des solutions de 



ap -\-bq=fi, 

 augmenté de y. {*). 



{*) Celte proposition peut être démontrée directement {Mélanges ma- 

 thématiques, p. 22). 



