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En effet, supposons 7'=/^', ou 7'"=!, y, 7', f étant 

 moindres que m. La dernière égalité conduit à 



p. il 



2Acr, 



ou a 



V ^ g _ ^ 



résultat absurde, attendu que la fraction ~^est irréduc- 

 tible (*). 



XI. 



La formule 



x = r'^ (20) 



donne toutes les racines de V équation (14), et seulement 

 ces racines, si l'exposant 1 n'est divisible ni par p ni par q : 

 c'est ce que l'on reconnaît aisément. Si l'on identifie alors 

 le polynôme X avec le produit Il(x — 7^), composé de 

 (p — 1) (q — 1) facteurs, on pourra trouver des relations 

 simples entre les sommes des puissances de 7. 

 Par exemple, de 



1 ~ X -h x^ — x^ -{- x^ -^ x^ -*- x^^ — x^* -+■ X^^ — X*' -f- x^* 

 _ jc'' -4- x'« — x'' -+- x'' — x'' -+- x'' = 

 (x - a) (x -y') (X - y') (x - /) (x - /) (x - r') 

 (x _ ^û^ (x - r*') (x - /^) (x -r'^j (X - r**^) .... (x -r''), 



{') Si j'ai reproduit celte démonstration, c'est parce qu'ordinairement 

 on choisit, comme racine primitive, une expression beaucoup plus com- 

 pliquée que le produit ixi3. 



