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Soient Oy la verticale passant par le point O ; A le point de 
la courbe où se trouve le mobile au bout du temps t; A! la po- 
sition suivante au bout du temps & + dt ; 0 l'angle AOy;r 
la longueur de la corde O A; d® l'accroissement élémentaire 
À O A! def; D le point de rencontre de la verticale Oy avec la 
perpendiculaire en À à O À; a le point de rencontre de la cir- 
conférence décrite sur O D comme diamètre, avec OA; AE le 
prolongement de À A’ dans l'angle y O A, formant la tangente 
à la courbe. Le mobile arrivera en À au bout du même temps et 
avec la même vitesse, en parcourant ou l’arc O CA ou la corde 
O À; et le temps employé pour aller de A en A’ sera égal au rap- 
port de l’élément A A’ à cette vitesse; d’un autre côté, le mobile 
mettrait à parcourir la longueur Oa le même temps que pour 
décrire la corde O À ; par suite, le temps employé pour aller de 
a en A! avec la vitesse acquise en a est égal à celui que mettra 
le mobile à décrire À A avec la vitesse acquise en A. 
Mais les vitesses acquises en a et À ne diffèrent entre elles 
que d’une quantité infiniment petite, du même ordre de gran- 
deur que la différence entre les distances de ces deux points au 
plan horizontal passant par le point D. On peut donc les consi- 
dérer comme égales, et alors, À A = A! à. 
Or, l'angle O À a — 90° — 6, pouvant être considéré comme 
égal à l'angle À O A’, il s'ensuit que l'angle O A A/—9 (90°—6) 
— 180°— 9, ou encore que l'angle O AE, formé par la tan- 
gente à la courbe avec le rayon recteur O A est égal à 28; et 
cette propriété caractérise la lemniscate. 
Pour obtenir l'équation de la courbe, il suffit d'intégrer 
l'équation ; 
rd 
OT tang 26 
que l’on peut successivement transformer ainsi qu’il suit : 
dr __ cos 26 
Tr sin 2 
2 dr __ dsin 96 
T sin 29 
D'où, en appelant c, une constante, 
2 log. = log. sin 29 + log. c, 
ou r —= © sin 28 
ce qui est bien conforme à ce que nous avons annoncé. 
