2 A. LlAPOUNOFF, SdR UNE SEBIE dans la TBiOKIE 



C'est une proposition fondamentale, dont la preuve est bien facile. II suffit de remarquer 

 que '\i{x-i-oi) est une solution de I'equation (1). II en resulte, en effet, que I'expressiou 



^ (x) 4»' (a? -»- co) — f\){x-i- (o) ^j;' (x), 

 tj;' {x) etant la d^rivee de <\/ (x), a une valeur constante, et que, par suite, on a 



<\i (x) <\)' (a; -t- (o) — '^i {x H- co) -y (x) = ^{x — w) 'i/ (x) — 4^ (x) ^];' (x — co), 



ou bien 



['I' {x-i-io)-i- 4*' {x — (o)] '\) {x) — []/ {x -+- (i)) -t- <\i {x — (o)] ^' (x) = 0. 



On aura done 



(0) <!; (a; -I- (o) -f- 4; (X — to) __ ^j 



A etant une constante, et en appliquant ce resultat a deux solutions iudependantes et a leur 

 somrae, on arrivera a la conclusion que cette constante ne depend point du choix de la 

 solution ^{x). 



La constante A ainsi definie est ce que nous avons appele ailleurs constante caracti- 

 ristique de I'equation consideree pour la periode w. 



On voit qu'il est bien important de savoir calculer sa valeur. Mais surtout il est impor- 

 tant de savoir reconnaitre si A est uu nombre reel ou imaginaire, et, dans le premier cas, 

 si Ton J.2 < 1, .4^ > 1 ou ^^= 1 ; car c'est cela ce qu'il faut counaitre avaut tout, lorsque 

 on veut savoir si les solutions de I'equation proposee sont des fonctions limitees, c'est-a-dire 

 telles que leurs modules restent au-dessous de certaines limites, quel que soit x. 



Cette question pent ^tre rattachee a la consideration de I'expression de ^{x-^-vko), 

 n etant un eutier quelconque. 



Cherchons cette expression. 



La relation (2) montre que ^{x-t-n(o) est une solution de' I'equation aux differences 



finies 



V — 2Aif -+-V =0. 



Or, si Ton pose 



le cas de A^ = 1 6tant consider6 comme cas limite, T„ verifiera la m6me equation, et 

 d'ailleurs T„ et T^_^ en seront des solutions ind^pendantes. 



