DES EQUATIONS DIPPEEENTIELLES LINEAIRES DD SECOND OBDRE A COEFFICIENTS Pl^RIODKJUES. 



Done, eu egard a ce que T^ = 0, Tj = 1, T_, = — 1, on aura 

 (3) ^i^-^riu>) = TJ{x-^-<i>) — T„_^'];{x). 



Si A est un nombre reel, il convient de poser: dans le cas de ^* < 1, 



A = COS a, 

 et dans le cas de A^ > 1, 



^ = l(a^i). 



Alors il vieudra: dans le premier cas. 



et dans le second. 



rp Sin na 



n sin a ' 



z.= 



n a — a~i ' 



De la on tire cette conclusion : 



Si A est un nombre r§el v^rifiant I'inegalit^ ^^ < 1, toutes les solutions de I'^quation (1) 

 seront des fonctions limit^es. Si ^^ > 1, toutes les solutions, autres que y = 0, seront, au 

 contraire, illimitees, et la meme chose aura lieu dans le cas oii A est un nombre imaginaire. 



En ce qui concerne le cas de ^^ = 1, on aura toujours des solutions limit6es; mais on 

 pourra aussi avoir celles illimitees. 



Dans ce cas il viendra 



ou Ton doit prendre celui des deux signes qui appartient k A, et la formule (3) se r6duira k 



'I (a; I- W(o) = (db 1)" i{; (x) -+- {± 1)'*^' [-^ (a; -f- co) h= 'J^ (x)] n. 



De la on voit que, si la fonctiou 



(4) ^(.rH-a))H='H^) 



n'est pas identiquement nuUe, la solution ^(x) sera illimit^e; mais la fonction (4), qui est 

 encore une solution, sera limit^e, puisque, cette fonction 6tant designee par 6 («), la re- 

 lation (2) donne 



(a; H- o) = zh (a;). 



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