4 A. LlAPOUNOFF, SUR UNE SERIE DANS Li TffEOBIE 



II pourra d'ailleurs arriver que toutes les solutions v^rifieront la relation 



|/ (a; -+- (o) = dt (];(«;). 



II n'y aura alors que des solutions limitees. 



On voit done que le cas de ,4^ = 1 exige une discussion complementaire, tandis que 

 dans tous les autres cas la question se resout imm6diatement. 



Lorsque, pour I'^quation propos6e, on a ^^= 1, il est en g^n^ral tres difficile de le 

 constater. C'est de quoi provient la principale difficulte de la question. 



Mais ce cas ne se presentera que tres rarement, et le plus souvent on se trouvera dans 

 I'un des autres cas, ce que Ton pourra toujours reconnaitre en calculant J^ avec une approxi- 

 mation suffisante. 



Si la fonction ^ est r6elle, la constante A le sera aussi, et ces derniers cas se r6duiront 

 a deux: A^ <\ et ^2> 1. 



Dans ce qui suit, nous proposons une m6thode pour les reconnaitre, lorsque la fonction jo 

 ne devient jamais negative. Cette methode reussit toujours, a moins que Ton ne se trouve 

 dans le cas de -4^ = 1 . 



2. Pour le calcul approximatif de la constante caract^ristique on pent proposer plu- 

 sieurs m6thodes, plus on moins expeditives suivant les cas, et entre autres, on pent signaler 

 divers developpements de cette constante en series. 



Or, parmi ces s6ries, il y a une qui merite une attention particuliere. C'est cette serie 

 que nous aliens considerer ici. 



Soient f{x) et cp {x) deux solutions de I'^quation (1), d6finies par les conditions suivantes: 



/•(0)=1, /"(0) = 0; <p(0) = 0, cp'(0)=l. 



La relation (2) donnera 



2^ = /-((o)-f-f(~(o). 



Or il est facile de prouver que Ton a 



/•(_«) = cp'((o). 



En effet, la fonction 



!p'((o)/'(a;-i-(o) — f (co) 9 (a; -*- co) 



est une solution de I'^quation (1), et cette solution se reduit, pour a; = 0, a 1, puisque Ton a 



