DBS EQUATIONS DIFF^RENTIELLES LINEilEES DU SBCOND ORDBE i COEPPICIENTS PERI0D1QUE8. 5 



quel que soit x. En m6me temps, sa d^riyee s'annale pour a; = 0. Cette solution ne pent 

 done differer de f (aj), et I'^galite 



f{pS) = <p'(w)/'(a;-4- w) — /'(co) (p(a;-*-a)) 



donne bien /"( — co) = ©'(to). 



De cette rrani'Te nous obtenons 



2^ = /'((o)-«-<p'(co), 



ce qui est la formule qui nous servira du point de depart. 

 Cela pos6, au lieu de I'equation (1), consid6rons celle-ci 



oil \x est un parametre arbitraire. 



Pour cette nouvelle Equation, toute solution, qui est d6finie par des conditions initiales 

 ind6pendantes de p., pourra 6tre developp6e suivant les puissances ascendantes de (a (entieres 

 et positives), ce qui conduira a une serie convergente, quel que soit x et quel que soit u.. 

 D'ailleurs, la premiere d^rivee de cette solution se repr6sentera par la 86rie, dont les termes 

 seront les deriv6es de ceux de la pr6c6dente. 



Pour ce qui concerue les solutions qui corresponderont aux conditions initiales de /"(a;) 

 et ^(a;), on aura les d6veloppements suivants 



1 —U (^) V-~^U{^) fA' — /iCa;) (J.«H- . . . , 

 ou 4 (a;), ?„(^) sont des fonctions que Ton calculera par les formules r6currentes 



J *^ 



J I* /• 



n J n 



(5) 



'0 ♦'0 



en partant des fonctions 



/o(a;)=l, 9,(a;) = x. 



