6 A. LlAPOUNOFF, SUR UNE SEKIB DANS LA THEORIE 



De ces developpements, en posant iJi.= 1, on deduit 



f{x) = l^f^{x)-^f,{x) — f^{x)^. . . , 

 ^{x) = a; — <p, (a;) H- <^^{x) — ^^{x) -4- . . .. 



Par suite, si Ton pose 



on aura cette expression pour A'. 



(6) A= l-^A^-i-A^ — ^3-+-..., 



le terme general 6tant ( — ^TA^, 



Nous avons deja consider^ cette serie dans le Travail intitule Prdbleme general de la 

 stabilite du mouvement, oil nous en avons deduit certaines conclusions a I'egard de A, en 

 supposant que la fonction p ne change jamais de signe. 



On voit que, si cette fonction est negative, les termes de la suite 



-"l> -"2> -"3' ■"*» • • • 



seront alternativement n^gatifs et positifs, de sorte que la s^rie (6) aura tons ses termes 

 positifs. On aura done, dans ce cas, toujours -4 > 1. 



Si, au contraire, la fonction p est positive, les A^ le seront aussi, et les termes de la 

 s6rie (6) seront alternativement positifs et negatifs. D'ailleurs, a partir d'un certain rang, 

 ces termes iront constamment en decroissant en valeurs absolues, comme le montre rin6galit6 



qui a 6te 6tablie dans le Travail cite *). 



Par cette in6galit6 on voit que, si ^i<2, on aura certainement 



A^"^ A^"^ Ag"^ A^'^ . . . J 



par suite de quoi il viendra 



l>A>l—A„ 

 et Ton aura ^' < 1. 



♦) Comme on le verra dans la suite, on pent obtenir une inegalite analogue qui donne, pour " , une 

 limite sup6rieure pins precise. """' 



