8 A. LiAPOUNOFF, Sue une seeie dans la theorib 



Pour w = 1 , cette formule, qui contient alors une integrale double, se r6duit a 



^1 = T P^^- 



•J n 



Une semblable reduction est possible aussi dans le cas general, I'int^grale multiple 

 d'ordre 2w, qui figure dans la formule (9), se reduisant toujours a une integrale d'ordre n. 



En effet, reportons-nous aux formules (8) et, en remarquant que les integrales qui y 

 figurent peuvent 6tre consid^rees comme celles etendues aux valeurs des variables x^, 

 ^2' • • • ' ^2n ^'^rifiant, si a; > 0, les inegalites 



a; > a;i > a;^ > . . . > ir^^ > 



et, si « < 0, celles-ci 



a; < a;^ < ajg < . . . < a;^^ < 0, 



effectuons I'int^gration, pour f^{x), par rapport aux variables a^j, aig, . . ., a^jn— i ®*' P^^'' 

 ?„'(^); par rapport aux variables a;^, a;^, . . ., x^^. Alors, en introduisaut pour les n variables 

 qui restent la notation a;,, x^,, . ,, x^, nous obtiendrons 



4(^) = Pi^^i Vi dx^-' (os—x,) (x^ — x^) . . . {x^_^~x^ p^ dx^, 



J Q J Jq 





?„' (35) =^^1^2;, p^dx^...\ {x^ — x^) (a:, — x^)... {x^_^ — x^ x^ p^ dx^ . 



Jq Jq Jq 



Par suite, nous aurons 



p.dxA p,dx^... (oi-x^^xJ{x^-x^){x,-x^). . .ix^_~xjpjx^. 



J a J CI 



Si Ton introduit la fonction 



\pdx = P(x) = P, 



on pourra obtenir, pour A^, encore d'autres expressions sous forme des integrales d'ordi-e n. 

 On les obtiendra, en effectuant les integrations dans les formules (8) par rapport a n variables 

 quelconques dont les indices different entre eux au moins de deux unites. 



