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A. LlAPOUNOFP, SUR UNE SlfmiE DANS LA THEORIE 



On pourrait presumer que la limite superieure precise de cette espece fiit dounee par 

 I'expression 



(13) 1.2.3. .(2n-l)2n (^\,P^'^)' 



Mais il ne nous a pas reussi a le d^montrer d'line maniere gen^rale, et nous ne pouvons 

 I'affirmer que pour les deux cas les plus simples, ceux de w == 2 et de % = 3. 



Tout revieut a prouver que I'expression ci-dessus est une limite superieure pour A^^. 



Or, dans le cas de w = 2, on le prouve aisement en partant de la forraule 



(o »x, 



J Jo 



ia^P^^r,){P, — p^)dx,, 



En effet, on en deduit 



/.(I) 



(0 x2 



A„ = a 



^^P^dx-^^{j^jdx^-^a^^ 



Pxdx — ^\ P^dx-*-~i I Pdx 



•'0 \~'o 



Pdx 



ce qui, en posant 



CO 



J. CO [~ r*^ ~ 



[p-a^)'dx- {p-ci^)dx 

 L»^o _ 



K, 



peut etre presente sous la forme 



A = i<-'^'-Y^' 



De la, en reraarquant que R ne peut jamais 6tre negatif, on conclut 



(14) 



A<r.^'^\ 



et le second membre de cette inegalit^ n'est autre chose que I'expression (13) pour 

 w = 2. 



Le cas de w = 3 pr6sente plus de difficulte, et nous le traiterons plus tard. 



