14 A. LlAPOUNOFF, SUR UNE SERIE DANS LA THEORIE 



I'integrale multiple d'ordre n-t-m etant 6tendue atoutes les valeurs des variables x^, x^, . . . , 

 \^m^ qui satisfont aux inegalites 



j o) > «! > a;^ > . . . > a;^ > 0, 



(15) 



^ ^ > *«-Hi > *«-*-2 > ■ • • > \-^m > 0- 



Or cette iutegrale est egale a la sorame des integrales de la m^me forme qu'on obtient 

 en supposant que chacune des variables 



*M-f-i» \-*-z^ •••■> \-t-m 

 se trouve dans I'un des intervalles 



et en faisant, a cet egard, toutes les hypotheses compatibles avec les inegalites (15). 



Considerons une de ces integrales et permutons y les notations des variables de telle 

 maniere que le champ de I'integration soit exprime par les inegalites 



^>cc,>x,> ...> x^^^ > 0. 

 Nous aurons alors, pour cette integrale, une expression de la forme 



-^O '^0 



*n *2' • • • ' *m 6tant des nombres inegals de la suite 



1, 2, 3, ..., w-f-m, 



ranges dans I'ordre croissant, et jj, j^, . . . , j^^ les autres nombres de la m6me suite, ranges 

 aussi dans I'ordre croissant. 



En faisant toutes les suppositions possibles a I'egard des nombres «i, ^2, • • ■ , «^, nous 

 aurons toutes les integrales en question, et leur somme representera notre integrale primitive. 



De cette maniere nous obtiendrons 



dx^ dx^... V t^n \^ •••.««] [in h^ • ■ -JJ 



«'0 -^0 



m-t-n ' 



Oil la somme est 6tendue a toutes les combinaisons possibles de m -h w nombres de la suite 

 1, 2, 3, ..., m-t-n pris m k m, les nombres de la combiuaison represeutant les valeurs 



