DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINKAIRES DU SECOND ORDRB A COEFFICIENTS PKRIODKJI'ES. 17 



Nous remarquons maintcuant que chacune des sorames, qui figuront daus ces expres- 

 sions, peut se reduire a uu seul terme, ce qui aura lieu, pour quelques-uues d'eutre elles, 

 toutes les fois que, parmi les nombres 



. / . . . . ; . 



11 s'en trouve qui soient 6guax k 1. 



Daus ce cas, le uumerateur et le deuominateur au moins d'une des fractions 

 K,. .. K. . auront des facteurs communs, et, si Ton designe par a le noinbre des 

 termes 6gaux a 1 dans la suite 



*9 *i > h *3 » • • • ) h *m 

 et par h celui des termes egaux a 1 dans la suite 



les termes de la premiere fraction auront g facteurs communs et ceux de la secoude h. 



Ces fractions seront done reductibles, et il est facile de voir qu'apres la reduction 

 complete le nombre des facteurs au denomiuateur sera le m6me pour les deux fractions, en 

 d'autres termes, que Ton aura 



m — g = n — h. 



En effet, introduisons la notation 



Si etant cousid^re comme une certaine caracteristique du uombre i^ dans la suite ij, ?"j, . . ., 

 i^, et, en posant m — g = l, designons par a^, oc^, ..., ocj ceux-la des nombres i^, pourlesquels 

 8i > 1. II est Evident que, si Ton considere tous les nombres coutenus dans les intervalles 



(a^, a, -^-Sa,), (ag, a^ -h Sa^), ..., (a,, a, -1- Sa^), 



sans y compter les a, et les a, -t- oa^, ces nombres ou leurs r6sidus positifs suivant le mo- 

 dule m-i-n donneront tous les nombres du groupe (/„ j^, . . . , j^). Par consequent, ou aura 



(Sa^ — 1) -H (Saj — 1) H- . . . -H (3a^ — 1) = n, 



(8aj — 2)H-(aa,— 2)-t-...-+-(^ — 2) = //, 



et de la il vient n — h = L 



Cela pos6, effectuons la r6duction de uos fractions. 



3 



3»n. 4ii3.-MaT. Ota. 



