24 A. LlAPOUNOFF, SUR UNE SEKIE DANS LA THEORIE 



Eu considerant d'abord ces deruiers termes, nous obtenons, pour leur somme dans I'ex- 

 pressiou ci-dessus, 



n (n -t- 1) (« -I- 2) . . . (w ■+■ m) 

 ^ 1.2.3. ..w ' 



car le nombre des termes de I'expression S est celui des combinaisons qu'on peut former de 

 n-^m elements m h m. 



Passant eusuite aux termes de la forme (18), nous remarquons que chacun d'eux sera 

 rep6te dans I'expression S autant de fois qu'il y a de suppositions distiuctes sur les nombres 

 *i> *2» • • • > *m» ^^^^ iesquelles la suite 



(21) \, \, \, ..., \ 



contienne tons les nombres a^, a^, . . . , a,^. 



Soit N„ „ le nombre de ces suppositions. 



En introduisanfc la notation connue 



g(g-l)(g-2)...(g-r-4-l) 



= g:\ 



nous aurons 



S = 2(7 ^„ 



1.2.3.. .r q 



m _^ V V A7 ^6i ^b^ ■■ ^b, 



J^^ jLi ^«u «2, '", H Ba^ Da^... D^^ ' 



ou la seconde somme est etendue a toutes les suppositions possibles qu'on peut faire sur 

 les nombres 



appartenant a la suite 1, 2, 3, ..., m-+-n, en les assujettissant successivement a chacune 

 des deux conditions (19) et (20). 



Reste a calculer le coefficient N„ „ „ , qui dependra, comme nous verrons tout de 

 suite, non pas des valeurs des a^, raais seulement de leur nombre k. 



En nous arr6tant a un groupe determine des nombres a,, a^, . . . , a^, considerons toutes 

 les combinaisons possibles {i^, i^, ..., i^) conjointement avec les combinaisons correspou- 

 dantes (^\, j^, . . . , jj, et toutes ces combinaisons partageons en diverses classes suivant le 

 mode de la distribution des nombres a^, a^, . . . , a,^ entre les deux groupes (i^, i^, . . . , i^) et 

 Uv hi •• •■> 3t)- Comme chacun des nombres a^ peut appartenir a chacun de ces deux grou- 

 pes, le nombre de tons les modes de distribution et, par suite, aussi des classes sera egal a 2*. 



Cela pos6, considerons un mode de distribution quelcouque et voyons, combien y a-t-il 

 de combinaisons {\, ig) •• • ■> ^m) ^^ '^ classe correspondantc qui remplissent cette condition 

 que la suite (21) contient chacun des nombres Oj, a^, . . . , a,^. 



