DE8 EQUATIONS DIFFEREtSTJELLES LUiEAlKES DU SECOND OKUEE k COEFFICIENTS PiRIODIQUBS. 25 



Soient 



a„ aj, . . . , a^ 



ceux-Ia des Dorabres a^ qui appartiennent au groope (tj, i^, . .. , ij, et 



ceux~la d'entre eux qui appartiennent au groupe (J,, j^, ..., j^), i etj etant dcs entiers po- 

 sitifs ou uuls lies par la relation i-t-j = k. 



En supposant que a. est le plus grand des a et p^ le plus graud des (3 et en nous re- 

 portant a ce qui a ete montre au numero G, nous pouvons affirmer que les nombres Wj, a^^ 

 ..., a^ne pourront se rencontrer tout k la fois dans la suite (21) que si les nombres 



a^ -H 1 , a^ -4- 1 , . . . , a^. -»- 1 (ou a^ -+- 1 — m — w) 



appartiennent au groupe (j^, j^, . . , , jj et les nombres 



P,-*-l, %-^l, ..., p,.-*-l (oup^.-Hl-w — n) 



au groupe (i^, i^, ..., ij. 



Par consequent, le groupe (ij, i^, . . . , i^) devra contenir les k nombres suivants 



qui sont tous distincts, comme cela resulte de ce que les a^ satisfont aux in6galit6s 

 Og — a, > 1 , ag — aj > 1 , . . . , a^-t-m-t-n — «ji > 1 • 



En m^me temps, le groupe (ij, j^, . . . , jj devra contenir les A; nombres 

 Pi, Pa, •••» Pi' "i-*-!, «3-»-l, •••, a,-»-l (ou a,-f-l— m — «), 



qui sont encore tous distincts. 



Cette condition n6cessaire est d'ailleurs suffisante. 



On voit done que la condition que doivent remplir les combinaisons consid6r6es se re- 

 duit k celle-ci: les 2k nombres fixes de la suite 1, 2, 3, ... , m-t-n doivent 6tre r6partis 

 it a fc, et d'une maniere d6termin6e, entre les deux groupes (ii, i^, ..., iJ et (>„ ^j, . . . , jJ. 



II s'ensuit que le nombre des combinaisons en question est celui des combinaisons qu'on 

 pent former de m-t-n — 2k objets m — k k m — k. 



3ftn. iii.-Uft.Orf,. ^ 



