DBS EQUATIONS DIPFEKENTIELLES LINEAIRBS DU SECONn ORDRE A COEFFICIENTS PERIODiqUES. 29 



dent la seconde pourra 6tre ecrite ainsi : 



n 

 A A _ 'V 0* ^~^ n^n—k) J 



"-I ^nn-i — ji^^ « -f- 1 - it ^2n-2* «^* • 



De la on voit imm^diatement qu'on aura toujoiirs 



ou bien 



-^n V. -^n-f-i 



et c'est la proposition que nous avons voulu demontrer. 



On peut d'ailleurs obtenir un r^sultat plus precis. 



A cet effet, 61iminons des formules ci-dessus la quantite J^ (ce qui suppose w> 1). 

 II viendra 



n 



A a !!_ A A _V (^-1)2* ptn-k-s J 



n n — 1 '^M— 1 -^n-t-i ^ (« — i) (n -*- 1 — ft) ^2n— 2* ^k • 



k=Q 



Or il est facile de s'assurer que la somine, qui figure an second raembre, repr6sente 

 une quantite positive. 



Eu effet, cette somme est plus grande que la quantite 



(„_l)2^2fi-4 '^a „2_i ^'^n '^OJ 



qu'on obtient en rejetant tons les termes pour lesquels fc > 2, et cette quantity, en vertu 

 de (25), est plus grande que celle-ci 



f 4 ^m— 21 pU\ 1^ C"^'\ A (n^ — 3) (n- i-2) p(n\ j 



( (n — 1)2 ^2n— 4 ^2n n^ — 1 «» / 2" (n^ — 1) ^ir» -^m' 



On voit done que Ton aura 

 (27) -4„=^>;r^^„-.^„., 



pour toutes les valeurs de n ^ partir de n= 2. 



